PROGRAMA DEL EVENTO
MINICURSOS
Los cursos de 3-variedades y dinámica aritmética serán simultáneos, por lo que cada estudiante deberá escoger uno en la forma de registro.
José Carlos Gómez Larrañaga, CIMAT Mérida
José Luis León Medina, Cimat Mérida,
Título: Estudio de 3-variedades usando gráficas en superficies
Resumen: Este minicurso tendrá tres partes:
1. Introducción a las 3-variedades, incluyendo descomposiciones de Heegaard.
2. Gráficas en superficies y polinomios asociados.
3. ¿Cómo definir invariantes polinomiales de 3-variedades? Una propuesta.
Rogelio Pérez Buendía, CONAHCYT-CIMAT Mérida
Título: A través del Mar Creciente: Conexiones entre Dinámica Aritmética y Geometría Algebraica
Resumen: Dirigido a estudiantes de posgrado y últimos semestres de la carrera en matemáticas, este curso intensivo de 4 a 5 horas despliega un panorama sobre cómo los sistemas dinámicos discretos se entrelazan con la teoría de números y se proyectan dentro de la geometría algebraica. Iniciaremos con una sólida introducción a los sistemas dinámicos discretos, abordando su representación mediante campos y anillos para revelar su aplicabilidad y expansión en el ámbito algebraico y aritmético.
Destacaremos la abstracción matemática no solo como un pilar teórico sino como un puente para conectar disciplinas matemáticas diversas. A través del análisis de puntos fijos y conjuntos invariantes, el estudio de variedades algebraicas y la exploración de morfismos entre sistemas, el curso proveerá a los asistentes las herramientas para comprender y aplicar estos conceptos en la resolución de problemas complejos, abriendo también puertas hacia sus aplicaciones en campos como la criptografía y la biología.
El propósito de "A través del Mar Creciente" es trascender el marco teórico para abrazar la aplicabilidad de la matemática en un espectro amplio de ciencias, estimulando a los estudiantes a descubrir y explorar las conexiones profundas que la dinámica aritmética y la geometría algebraica mantienen con el mundo real. Este curso busca inspirar una visión integradora de la matemática, resaltando su relevancia y potencial en la investigación interdisciplinaria.
Adolfo Sánchez Valenzuela, CIMAT Mérida
Título: Temas selectos y revueltos de álgebra, cálculo, ecuaciones diferenciales y geometría con algunas aplicaciones.
Resumen: A continuación se da una lista de temas que a priori sería deseable abordar con un buen grado de detalle y profundidad en este curso. La lista no pretende ser exhaustiva. Advertimos también que estos temas tampoco podrían alcanzarse a cubrir completamente en cuatro o cinco sesiones de una hora y media de duración. Sobre la marcha se podrían tomar desviaciones hacia otros temas relacionados que inicialmente ni siquiera aparecen aquí. Ello dependerá de las preguntas e intereses manifestados por los alumnos en cada una de las sesiones. La intención real del curso es ofrecer una visión panorámica de cómo se relacionan y conectan entre sí diferentes temas que, en los cursos regulares, nos suelen dejar con una impresión de tratarse de ser parte de disciplinas distintas y desconectadas entre sí. Una cantidad de detalles y demostraciones a completar, así como de ejercicios específicos planteados en cada sesión, integrarán 'el paquete de prácticas y problemas a resolver' con los cuales se calificará el desempeño de cada alumno inscrito en el curso. Hay unas viejas notas del siglo pasado (ver [Ref] al final) que pueden servir como referencia y guía inicial, pero en cada sesión se irán recomendando diferentes textos a consultar.
Grupos y homomorfismos
Acción de un grupo en un conjunto
Las órbitas de una acción
Subgrupos de isotropía
Grupos y simetría en álgebra lineal
Acción de GL(n) en transformaciones lineales
Formas canónicas de transformaciones lineales
Formas bilineales y sesquilineales
Acciones de GL(n,R) y GL(n,C) en formas bilineales y sesquilineales
Formas canónicas de formas bilineales y sesquilineales
Los grupos clásicos
Geometría en espacios vectoriales
Los grupos de Lie en primera aproximación
Elementos básicos de topología diferencial
Dos teoremas importantes del cálculo diferencial
Variedades diferenciales
Funciones diferenciables entre variedades diferenciales
Fibraciones, puntos regulares y subvariedades
Translaciones izquierdas y derechas; ejemplos en subgrupos de GL(V)
Campos vectoriales en R^n y en variedades diferenciales
Campos vectoriales y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Soluciones de sistemas de ODE's por vía de la aplicación exponencial
Campos vectoriales invariantes por la izquierda en grupos de Lie
Subgrupos uniparamétricos
Álgebras de Lie y sus representaciones
Las álgebras de Lie clásicas
Relación entre grupos y álgebras de Lie
Referencia inicial
[Ref] Berlanga, R., Hernández, L. y Sánchez-Valenzuela, O.A.
Introducción a la Geometría en Grupos de Lie
IV Escuela de Verano en Sistemas Dinámicos
(Calvo, O. e Iturriaga, R. Eds.)
Aportaciones Matemáticas de la SMM
Serie: Comunicaciones 21 (1998) 1-93.
CHARLAS
Ma. Isabel Hernández, CONAHCYT-CIMAT Mérida
Título: Hablemos de Superálgebras.
Resumen: Un espacio vectorial V se dice que está G-graduado, siendo G un grupo conmutativo, si se descompone como suma directa de subespacios etiquetados con los elementos del grupo. En este sentido la palabra ''súper'' hace referencia a cuando G=Z2. En esta plática veremos cómo definir una Z2 graduación en estructuras algebraicas (en álgebras de Lie y de Jordan) para así obtener las llamadas ''superálgebras''
Omar Muñiz, CONAHCYT-CIMAT Mérida
Titulo: Cálculo variacional y regularización para la reconstrucción de imágenes digitales.
Resumen: En el área de procesamiento de imágenes, es común enfrentarse a problemas inversos, en donde se deben obtener los parámetros del modelo a partir de los datos observados. Por ejemplo, consideremos una imagen digital u0 desenfocada (borrosa) y con ruido (pixelada), representada por una función u0 : Ω ⊂ R2 → R.
Queremos eliminar el desenfoque y el ruido de u0, es decir, obtener una imagen u enfocada y libre de ruido que se parezca a u0.
Aquí nos encontramos con el problema inverso de inferir u disponiendo sólo del dato u0.
Si A representa el operador de desenfoque, que es lineal y continuo, el problema se puede plantear inicialmente como u0 = Au + η, donde η representa el ruido en u0. Sería deseable que esta ecuación tuviera una única solución; pero sabemos que puede no tener solución, o bien, tener una infinidad de soluciones. Entonces formulamos nuestro problema como un problema de minimización:
mín {∥Au − u0∥2 : u∈X }
donde X es un espacio normado de funciones reales definidas en Ω. Sin embargo, por lo general, tanto la ecuación como el problema de minimización anteriores están mal planteados en el sentido de Hadamard; es decir, la solución puede no existir, no ser única, o no ser estable con respecto a los datos iniciales. Para transformar un problema mal planteado en uno bien planteado, se suele recurrir a técnicas de regularización, en donde básicamente se añade una nueva restricción al problema original:
mín {∥Au − u0∥2 + λ∥Γu∥2 : u∈X},
donde λ > 0 y Γ : D(Γ) ⊂ X → X es un operador que impone condiciones o restricciones en las soluciones u de nuestro problema. En nuestro caso concreto, queremos penalizar las oscilaciones en u que representan el ruido, por lo que consideramos al gradiente Γ = ∇ y minimizamos la siguiente función de costo:
mín { 0.5∥Au − u0∥2 +0.5λ∥∇u∥2 : u∈X } (1)
El primer término de la función costo es el término de similitud entre Au y u0; el segundo es el término de regularización, que evita que u presente oscilaciones o ruido; y λ > 0 cuantifica la cantidad de ruido a ser removido. En esta charla veremos que considerar al espacio X = {u ∈ C1(Ω) : ∂u/∂ν = 0 sobre ∂Ω} no garantiza que el problema de minimización esté bien planteado, y que una buena alternativa es considerar al espacio de Sobolev X = {u ∈ H1(Ω) : ∂u/∂ν = 0 sobre ∂Ω}. Usando métodos variacionales, veremos que u ∈ X es el único punto mínimo de la función de costo (1), si y sólo si, u es la única solución del problema con condición de frontera de tipo Neumann
−∆u(x) + λA∗Au(x) = λA∗u0 (x) c.t.p. x ∈ Ω,
∂u/∂ν = 0 sobre ∂Ω,
donde A∗ es el operador adjunto de A.
